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2-2,自动微分机制#

神经网络通常依赖反向传播求梯度来更新网络参数，求梯度过程通常是一件非常复杂而容易出错的事情。

而深度学习框架可以帮助我们自动地完成这种求梯度运算。

Pytorch一般通过反向传播 backward 方法 实现这种求梯度计算。该方法求得的梯度将存在对应自变量张量的grad属性下。

除此之外，也能够调用torch.autograd.grad 函数来实现求梯度计算。

这就是Pytorch的自动微分机制。

一，利用backward方法求导数#

backward 方法通常在一个标量张量上调用，该方法求得的梯度将存在对应自变量张量的grad属性下。

如果调用的张量非标量，则要传入一个和它同形状 的gradient参数张量。

相当于用该gradient参数张量与调用张量作向量点乘，得到的标量结果再反向传播。

1, 标量的反向传播

import numpy as np 
import torch 

# f(x) = a*x**2 + b*x + c的导数

x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c 

y.backward()
dy_dx = x.grad
print(dy_dx)

tensor(-2.)

2, 非标量的反向传播

import numpy as np 
import torch 

# f(x) = a*x**2 + b*x + c

x = torch.tensor([[0.0,0.0],[1.0,2.0]],requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c 

gradient = torch.tensor([[1.0,1.0],[1.0,1.0]])

print("x:\n",x)
print("y:\n",y)
y.backward(gradient = gradient)
x_grad = x.grad
print("x_grad:\n",x_grad)

x:
 tensor([[0., 0.],
        [1., 2.]], requires_grad=True)
y:
 tensor([[1., 1.],
        [0., 1.]], grad_fn=<AddBackward0>)
x_grad:
 tensor([[-2., -2.],
        [ 0.,  2.]])

3, 非标量的反向传播可以用标量的反向传播实现

import numpy as np 
import torch 

# f(x) = a*x**2 + b*x + c

x = torch.tensor([[0.0,0.0],[1.0,2.0]],requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c 

gradient = torch.tensor([[1.0,1.0],[1.0,1.0]])
z = torch.sum(y*gradient)

print("x:",x)
print("y:",y)
z.backward()
x_grad = x.grad
print("x_grad:\n",x_grad)

x: tensor([[0., 0.],
        [1., 2.]], requires_grad=True)
y: tensor([[1., 1.],
        [0., 1.]], grad_fn=<AddBackward0>)
x_grad:
 tensor([[-2., -2.],
        [ 0.,  2.]])

二，利用autograd.grad方法求导数#

import numpy as np 
import torch 

# f(x) = a*x**2 + b*x + c的导数

x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c


# create_graph 设置为 True 将允许创建更高阶的导数 
dy_dx = torch.autograd.grad(y,x,create_graph=True)[0]
print(dy_dx.data)

# 求二阶导数
dy2_dx2 = torch.autograd.grad(dy_dx,x)[0] 

print(dy2_dx2.data)

tensor(-2.)
tensor(2.)

import numpy as np 
import torch 

x1 = torch.tensor(1.0,requires_grad = True) # x需要被求导
x2 = torch.tensor(2.0,requires_grad = True)

y1 = x1*x2
y2 = x1+x2


# 允许同时对多个自变量求导数
(dy1_dx1,dy1_dx2) = torch.autograd.grad(outputs=y1,inputs = [x1,x2],retain_graph = True)
print(dy1_dx1,dy1_dx2)

# 如果有多个因变量，相当于把多个因变量的梯度结果求和
(dy12_dx1,dy12_dx2) = torch.autograd.grad(outputs=[y1,y2],inputs = [x1,x2])
print(dy12_dx1,dy12_dx2)

tensor(2.) tensor(1.)
tensor(3.) tensor(2.)

三，利用自动微分和优化器求最小值#

import numpy as np 
import torch 

# f(x) = a*x**2 + b*x + c的最小值

x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)

optimizer = torch.optim.SGD(params=[x],lr = 0.01)


def f(x):
    result = a*torch.pow(x,2) + b*x + c 
    return(result)

for i in range(500):
    optimizer.zero_grad()
    y = f(x)
    y.backward()
    optimizer.step()


print("y=",f(x).data,";","x=",x.data)

y= tensor(0.) ; x= tensor(1.0000)

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